【三角函数】初探三角函数（一）

2021-09-29，中国，北京。

一个女孩给她的朋友发送了一条消息：

“我分手了……”

很快，朋友给了回复：

“？？！！！发生什么了？你没事吧？”

以下是两人的剩余对话：

女孩：“我没事，是我把他甩了。”

朋友：。。。。。。

朋友：你这。。。。额不过我不记得你有对象啊？

女孩：还记得前段时间我跟你说的我在自学二次函数吗？

朋友：记得……不过，这跟对象有什么关系？

女孩：当然有关系啊！我把二次函数甩了啊！因为我又爱上了三角函数！！

朋友许久没有回复，大约20分钟后，女孩收到了北京安定医院精神科打来的电话：

医生：喂？请问是李小姐吗？有人向我们反映，说您得了精神病，我们建议您……

【啪】电话断了。

~~~~~~

以上故事纯属虚构，但我爱上了三角函数这句话是真的！这个专栏，我们就来探讨（怎么把）三角函数（搞到手）！

以下是正文：

在“正式的”开始学习三角函数之前，我们需要先复习一些（早就忘掉的）知识，并规定一些记号（不是我瞎编的记号！！而是国际通用的！！）。

· 勾股定理（会说到勾股定理的证明噢！）

· 相似三角形（不会细说相似的几种证法，只是抠一抠定义，相似三角形我会另开一个专栏~）

· 函数（同样，抠定义）

那么，我们开始吧！

1.勾股定理

对没错，就是345的那个勾股定理，也称毕达哥拉斯定理。

我们可以把勾股定理分解成以下两个断言（命题）：

断言一：如果一个直角三角形的两条直角边边长分别是 a 和 b，而它的斜边长是 c，那么 a²+b² = c²（在数学中通常使用小写字母来表示边长，我们以后也会这样使用）。

现在，证明开始！（猝不及防）：

我总共写了16种证明方法，每一种都很好玩的噢！而且都是有初中数学知识就能看懂的！大部分都是全等/相似，第十一个和第十二个可能稍微有一点超纲，但也很简单的嗷（其实我觉得那两个是最酷的）。

上几张图，嘿嘿：

断言二：若正数 a、b、c 满足 a²+b² = c²，那么存在一个三角形，其边长分别为 a、b 和 c，且这个三角形中边长为 c 的边所对的角是直角（事实上，这个断言蕴含了如下事实：若 a²+b² = c²，那么 a + b > c）。

对没错断言二就是八下数学书上大名鼎鼎的“勾股定理的逆定理”。

这两条断言告诉了我们一个重要的信息：在给定两条直角边（全等，SAS）或给定斜边及一条直角边（全等，HL）时，勾股定理可以让我们复原出三角形。

以下是两个补充信息，八下勾股定理那一章会讲到，具体证明过程也十分简单，此处不再详细列出，可看图：

2.相似三角形：

啊啊啊纵然这不是关于相似的专栏，但写到这我还是很激动嗷！

九下数学书定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形（similar polygons），相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）。

而在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，

而在相似多边形中，最简单的就是相似三角形（similar triangles），即三角分别相等，三边成比例的两个三角形，用符号“∽”表示（相似三角是全等三角形的推广，全等三角形可以看成是相似比为1的相似三角形）。

如下图：

相似的具体知识在这里我就不再多说啦，等到这个专栏写完，我会单开一个相似的专栏的嗷~

学习三角函数，至少在现在，记住最最最重要的一句话就行啦：三个角分别相等的两个三角形相似。

3.函数：

【函数虐我千百遍，我待函数如初恋】哦不对我好像还没有初恋。

八下数学书：

4.一些标准记号：

任何一个三角形都有六要素，当然，不是时间地点人物起因经过结果那个六要素，而是——三条边和三个角。

我们将使用（也总是使用）大写字母或小写希腊字母（α，β等）来表示三角形角的大小，而使用小写字母来表示三角形边的长度。

———分割线————

到此为止，一切预备工作皆已就绪（复习完毕），火箭即将发射（即将踏上三角函数这条不归路），请确保穿好太空服，系好安全带【咳咳？】（确保以上知识都没有问题，这是后续一切的基础）。

3——2——1——

发射！！（哦天呐为什么我感觉自己这么幼稚！！）

【抵达国际空间站（开始吧！）】

首先我们需要先明确三角函数是什么：

三角函数，英文是 trigonometry，在三角函数家族中共有六个成员，分别是：

· 正弦，sine（简称sin），对边比斜边，即 a/c。

· 余弦，cosine（简称cos），邻边比斜边，即 b/c。

· 正切，tangent（简称tan），对边比邻边，即 a/b。

· 余切，cotangent（简称cot），邻边比对边，即 b/a。

· 正割，secant（简称sec），斜边比邻边，即 c/b。

· 余割，cosecant（简称csc），斜边比对边，即 c/a。

不用现在就把它们死记硬背下来噢，后面都会详细提到的，我就是做着做着题就记住啦！

简言之，三角函数就是三角形中各条边的比，简称三角比。

那么，关键问题来啦——为什么三角函数，得以成为函数？

（看到这句话亿脸懵的人赶紧滚回去给我复习函数的定义10000000遍谢谢！！！）

下面开始回答这个问题：

首先，任意两个含有∠α（阿尔法，不是a，这两个一定要分清楚，a表示边长）的直角三角形都是彼此相似的（从直角三角形起步，先研究锐角三角函数，后续会推广到任意角三角函数）。

原因也很简单：

在一个直角三角形中，直角已经确定了，一个锐角也确定了，那就相当于三个角都确定了呀！咱们前面说过什么来着？三个角分别相等的两个三角形相似。

而两个相似的三角形对应边的比是一样的，即 AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’。

换成小写字母形式：c : c’ = b : b’ = a : a’。

将这个式子变形，可以得到 a : c = a’ : c’，b : c = b’ : c’，a : b = a’ : b’……

虽然这两个直角三角形的边长不同，但 ∠α 的三角函数值的大小并没有因此受到丝毫影响！！无论正弦余弦正切余切正割余割！！

也就是说，∠α 的三角函数值只依赖于 α，而与含 α 的直角三角形无关！！！【重点×100000】

换言之，一旦 ∠α 确定了，它的三角函数值也就随之确定了！！

有了这个，那个问题就好回答啦~

三角形中角的大小是一个变量，当角的大小确定时，它的三角函数的值也随之确定，所以可以把角看作自变量（x），三角函数值看作因变量（y），它们之间一一对应，这样就构成了函数关系。

这一段的内容相当重要嗷！！不过一次记不下来也没有关系，下一篇说正弦的时候还会反复提到这些内容哒！

说一下更新频率：3-5天一篇叭，忽然发现……国庆过了，期中考试怎么感觉就近在眼前了！！！aaa！

溜了溜了~我还要给某人回邮件呢嘻嘻嘻嘿嘿。

2021-10-07

By 李天星~