【Python】用 Py 解决那道“出错”的中考数学填空压轴！

Hi，我是李天星，一个热爱数学的女孩。

今天，我（在我爸爸的逼迫下），做了一套湖北黄冈的中考数学试卷（没错就是超难的那个，呜呜呜 ┭┮﹏┭┮）。

然后我得了102/120……折合成百分制就是85……

不过这不是今天的重点啦~

重点是！那道耗了我将近十五分钟的填空压轴！其实是一道“出错的题”。

你或许会很吃惊：中考题，出错了？？？！！！

嘿嘿~那就和我一起继续往下看叭~

先放题图：

注意括号里那句话：不取近似值。

你可能会想，“动点轨迹”题啊……那就找轨迹呗！

没错，思路很鲜明啦！

找出的轨迹如下图：

三段弧所对的圆心角都是90°，不难算出。

第一段（大圆弧）是：

第三段和第四段（小圆弧）都是： 

那么，问题来了：第二段呢？那个“不知名的东西”应该怎么计算？

【前方高能开始】

答案是，利用：

· 参数方程（注意，不是指含参的方程！）

· 椭圆函数

· 定积分（没错啦就是微积分中的积分中的定积分）

没错，这些，已经远远超出了中考数学的考纲，这是第一个“出错”的地方？

（诶诶诶？还有第二个？？）

（嘿嘿，那当然有，不过先不告诉你，卖个关子，嘻嘻！）

首先先来看一下我们需要计算的式子。

【重点】这个式子的前两项就是我们之前算出的第一段和第三四段的长度，第三项中的“∫”是积分符号，“θ”表示平面上的角，“d”表示 θ 的增加趋向于无穷小时的极限，也可以直接理解为微分。

（这是按照参数方程算出来的，不是我算的，是知乎上一个大佬）

那么，这个式子对于不会微积分的我们来说，怎么计算啊？？这是个大问题……

好啦好啦先不要急着退出（bushi），要是用手算的话我也不会，但是，我们编程人怎么能这么轻易地向数学计算低头呢？？！！！我们还有计算机啊！

祭出神器——我大Python！

于是，我开始写代码…..计算这个式子。

from math import sqrt    # 开根号
from math import sin    # sin，三角函数中的正弦，即对边比斜边
from math import pi    # 圆周率

def f(x):
    return 5 - 4 * sin(x)

def g(eps):
    r = 0
    i = 0
    while i < (pi / 2):
        r = r + f(i)
        i = i + eps
    return r * eps

if __name__ == '__main__':
     print(5 * g(10 ** (-7)))

我们来分析一下这串代码，顺便扯一点“微积分”。

前三行就不用说了，注释写了~

先来看第一个函数，f：

这个很好理解，计算参数的正弦值，也就是根号中的部分。

（PS：不太清楚什么是三角函数和正弦的同学，可以看看我这篇文章：https://ltx1102.com/2021/10/07/trigonometry_001/）

第二个函数 g 是重点：

eps 源自希腊字母 epsilon，表示无穷小，代表式子中的 dθ。

首先创建了两个变量，r & i，i 就表示式子中的 θ。

这里是重点，为什么是π/2 ？

嘿嘿，看看那个积分符号∫，它上面那个数就是π/2。而所谓积分，“积”就是加的意思，即从0一直“加”到 π/2，故在 i 小于 π/2的时候要一直循环。

（注意！！！这个解释通俗但是极不严谨，我只是一个了解了一点点点点微积分最最最基本思想的小白，想要知道更多的小伙伴们可以自己去查查噢~）

那么，我们继续往下看。

这两个式子是指什么？

上面那行，就是根号里面那部分，i 就是 θ 嘛~

下面那行，代表的就是 dθ ，也就是 θ 的增加趋向于无穷小（eps）时的极限（其实这里也可以直接理解为微分，但是那个太复杂了，涉及到求导数，而导数我现在只是明白了一点点，这里就不写啦，有兴趣的小伙伴自己去查查鸭~）。

最后来看运行部分：

这里，函数 g 接收的参数是10的-7次方，“** ”代表乘方。
也就是，在这里，我把“无穷小”设置为了“10^-7”（当然也可以更精确啦~ 但我怕我电脑造反，毕竟我最近开一个 vscode 它都能揭竿而起……【bushi】）

OK啦，程序解释完毕！

最后的答案是：大约 45.1827！

诶诶诶不对啊？？？

不是说不取近似值的吗？？？？

是的，所以说，这道题出错了，而且不仅仅是超纲那么简单的错误，第二个原因是——这道题，算不出具体数字，只能写成积分形式！

原因是，这个积分函数，没有原函数，积分表里也没有，所以，只能写成积分形式。

Done~

嘿嘿，其实，抛开复杂的计算和一大堆奇葩的符号，微积分是个很好玩的东西呢！（尤其它的“极限”思想，爱了爱了）

我最近在看一本书，超有意思，和微积分相关的（不涉及计算不涉及计算不涉及计算，单纯的就是讲一些基本思想，前150页初中数学足够了，后50页可能涉及一点高中，不过大部分是导数）：

超级好看！！！马上看完啦！

嗯，就酱~溜啦溜啦~

（去研究全卷最后一道二次函数压轴了……呜呜呜 T_T）

2022-02-03

By 李天星