“奇变偶不变，符号看象限”
——题记
你好呀，我是李天星，欢迎来到三角函数系列（高一的重头戏呀哦吼吼）~
在上一篇中（https://ltx1102.com/2023/07/02/forlove-hsmath_a_1-5-2/）我们已经初步了解了什么是三角函数和同角三角函数的基本关系式。and，在上一篇中，我讲了一个公式——公式一。
“剧透一下，三角函数有一组公式——诱导公式（是的我也知道这个名字很奇怪啊不是），这是诱导公式的第一个，呃，一共有。。。六个😂”
——摘自上一篇
嘿嘿，你猜对啦！这一篇主要讲的就是诱导公式~我们一起来看看吧！
【目录】
一、讲解部分
- 偶不变——公式一至四
- 例题 1
- 奇变——公式五、六
- 例题 2
- 口诀及解读
- 诱导公式的使用
- 例题 3
- 特殊角的三角函数值表
二、习题部分
- 利用诱导公式求值
- 练习 1
- 练习 2
- 练习 3
- 利用诱导公式化简三角函数式
- 练习 4
- 利用诱导公式证明三角恒等式
- 练习 5
- 练习 6
- 练习 7
- 利用诱导公式解决三角形中有关问题
- 练习 8
- 诱导公式的推广
【讲解部分】
一、偶不变——公式一至四
讲新课（？不是）之前，我们先来复习一下公式一：
上一篇中讲过，公式一是终边相同的角的三角函数之间的关系，可以看作一个角绕顶点旋转 2kπ (k ∈ Z) 后形成的新的角与原先角的三角函数的关系。
聪明如你，肯定想到了更多其它情况——公式一是旋转 2kπ，那我要是旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 呢？关于 x、y 轴做个对称呢？或者……
别着急嘛，这就讲啦~！
首先是绕顶点旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 的情况（也就相当于旋转 π 的情况），把图画出来（一个圆周是 2π，所以 π 就相当于半个圆周~）：
图中红色的线画出的角是由绿色的线画出的角绕原点旋转 π 后得到的~（呃呃呃不要鄙视我拙劣的画技emm（
你肯定发现了——啥旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 啊，哪有那么玄乎，不就关于原点做个对称嘛！
的确，就这么简单（无辜摊手）。
所以其实，这种情况下，三角函数值的关系其实就变成了 “关于原点对称的两个点的横纵坐标的关系”，嘿嘿。
很直观，两个点的横纵坐标都相反，所以正弦值和余弦值都相反，正切值相同（因为正切 = 正弦/余弦，正余弦同时取得相反数，对正切不造成影响~）。
公式二就这么简单~！
你可能会问，诶为什么公式一要强调 “2kπ” 而不仅仅是 “2π”，但是公式二就没有强调 (2k+1)π 呢？
其实是因为，在真正计算三角函数值的时候，一般都会先利用公式一将要求的角度转化为 0-2π 之间的角度，再利用其他公式进一步求，所以公式二就不必再写 (2k+1)π 了~
（关于任意角三角函数的具体求解步骤，在六个公式都讲完后会说~）
嗯，上面公式二玩的是关于原点对称，你可能已经猜到接下来要讲什么了——没错，关于 x 轴对称和关于 y 轴对称时的情况~！（公式三和公式四）
先来看关于 x 轴对称的（图中画蓝线的角是由画绿线的角关于 x 轴对称后得到的）：
这个时候，从角的角度看，如果之前的角为 α，则对称后所得的 -α（其实就是向相反的方向旋转相同的大小，所以角度值是相反数~）。
众所周知，关于 x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标相反，所以——余弦值相同，正弦值相反，正切呢，因为正弦和余弦只有一个取得了相反数，所以正切的符号也要跟着变，正切值也相反~。
公式三如下：
再来看看关于 y 轴对称的时候的情况~（图中画黄线的角是由画绿线的角关于 x 轴对称后得到的）：
well，先来看看关于 y 轴对称以后的角度到底是多少。。
图中画的 β 的大小和 α 相同（这不用解释叭），所以图中画黄线的角的大小就等于 π-β 的，也就是 π-α。
关于 y 轴对称的点，横坐标相反，纵坐标不变，so，余弦值相反，正弦值不变，和公式三一样的是正切值都要取反。
（是不是感觉有点开窍了哈哈哈哈哈）
公式四如下~：
不知道你现在是什么感觉，反正当时我看完公式四的时候，我开始欢呼……
——诱导公式的本质，就是对称呀！
其实诱导公式并不难，也不用死记硬背，重在理解和学会推导~（本人亲测，做题真的很简单）
做一个题练一下叭~：
【例 1】
是不是很简单呀？
二、奇变——公式五、六
weeeeell，还有两个稍微复杂一点点的公式，接着来看吧~
嗯，我们要相信这些数学家的脑洞（不是），除了那几个比较容易想到的对称，人家还帮咱想了俩。
公式五，关于一三象限的角平分线对称，长这样：
（emmm 忽然发现我颜色好像不够用了）（都怪诱导公式太多了）
紫线的角是绿线的角关于直线 y=x 对称后得到的，我们来算一下它的大小。
紫线的角和图中的 β 一样大，β 又等于 90°-α 也就是 π/2-α，所以紫线的角的大小就是 π/2-α。
emmm，所以对称后的点的坐标和之前的那个有啥关系咧。。。？
如果初中讲一次函数的时候提到过的话，你应该会记得，对称后的点的横坐标等于对称前的点的纵坐标，纵坐标等于对称前的点的横坐标，就是把 (x,y) 变成了 (y,x)。
可是必修一书上的某一个小框里说：请利用平面几何知识对上述结论进行证明。。。
行，那咱就证明一下吧~
如图，做两个垂线，则易证图中两个阴影三角形全等（AAS），所以 PB=P3C，OB=OC，即 (x,y) 变为 (y,x)。
嗯，话都说到这里了，关系还不是很简单~！对称后的角正弦等于原角的余弦，对称后的角的余弦等于原角的正弦，正切则是取倒数（b/a 是 a/b 的倒数）。
公式五来了~：
嗯！还剩最后一个，公式六~！（胜利在望了吼吼吼）
呃呃呃好好好先不要着急着打我虽然我也知道我这图画的很烂emmm（（（
好吧，实际上就是把公式五中的那个对称后的角再关于 y 轴做了一次对称。
先来推导角的度数吧，图里的 β 就等于公式五中对称后的角，也就是 π/2-α，所以图中粉线的角就等于 π-(π/2-α) = π/2+α，也就是说，粉线的角是由绿色的角顺时针旋转 π/2 后得到的。
旋转后的两个点的坐标有什么关系？
很直观吧，从 (x,y) 变成了 (-y, x)，证明过程和公式五中的差不多，这里不再多说~
那么三角函数关系也就出来啦，旋转后的角的正弦等于原角的余弦，旋转后的角的余弦等于原角的正弦的相反数，正切则等于原角的正切的相反数的倒数（其实不是很复杂啦，a/b 变成了 -b/a，也就是公式五中的正切值取相反数~）。
也就是公式六：
公式六稍微有一点点复杂，可以多看两遍~
嗯！至此，我们学完诱导公式啦~！【击掌相庆】
趁热打铁，做点题练习一下吧~
【例 2】
其实也不难呢！
（and，这个题中的两个公式是诱导公式的拓展公式，也很有用，做题时常常遇到，可以也记一下~）
三、口诀及解读
讲完了这六个公式，我们回到题记（口诀）——奇变偶不变，符号看象限。
这句话到底什么意思？
我们先来看看公式一至六能不能找到一个 “通式”，也就是说，公式一至六是否遵循着同一种形式？
weeeell，首先这些式子里都有个 ±α，并且都有 k 个 π/2（公式一中 k=4 或 4 的倍数，公式二、四中 k=2，公式三中 k=0，公式五、六中 k=1），所以可以概括为 k · π/2 ± α (k ∈ Z) 的形式。
口诀中的 “奇” “偶” 就是指 k。在公式一至四中，k 都是偶数；在公式五、六中，k 都是奇数。
在公式一至四中，sin(xxx) 变了之后还是 ±sin(yyy) 的形式，也就是说三角函数名不变，sin 变成 sin，cos 变成 cos，tan 变成 tan。
而在公式五、六中，sin(xxx) 变成了 ±cos(yyy) 的形式，三角函数名变了（你可能会问，诶那 tan 不还是 tan 嘛，也没变呀？其实 tan 变成的 1/tan 有个专门的名字，叫 cot 余切，不过高中不讲，但是它其实也变了的~）。
所以 “变” “不变” 其实指的是三角函数名要不要变。
所以 “奇变偶不变” 的意思就是：若公式 k · π/2 ± α (k ∈ Z) 中的 k 为奇，则正弦变余弦，正切变余切（1/tan）；若公式中的 k 为偶，则三角函数名不变。
至于符号看象限呢，“符号” 指的是诱导公式中新三角函数值的符号（±），“看象限” 是指：如果把原角 α 看作锐角，进行公式中的变换后，新角的终边所在的象限的三角函数的符号就是这个公式的 sin、cos、tan 的符号。
emmm 好吧光说的话说的不太清楚，我们来举个例子，就公式二吧~
（又是这个图嘿嘿嘿）
这个图中，将 α 看成锐角（也就是终边在第一象限），则公式二中的 π+α 是第三象限角。正弦函数的函数值在第三象限是负数，余弦也是负数，正切是正数，由此可以得到诱导公式二。
这个口诀很实用的~！
四、诱导公式的使用
嘿嘿，猜你肯定很好奇，这六个公式到底干嘛用的呀？又该按照什么顺序用呢？
且听我慢慢道来~~
首先是公式一至四，这四个公式的主要作用是把【任意角】的三角函数转化为【锐角】的三角函数，再进行计算。
转化的步骤是什么？
【负化正】首先，如果所给角度是负数，要把负数变成正数，此时多用公式一和公式三（关于 x 轴对称）。
【大化小】第二，将步骤一所得的正角转化为 0-2π 之间的角，此时用公式一。
【小化锐】第三。将大于 π/2（也就是 90°）的角转化为锐角，此时多用公式二（关于原点对称）和公式四（关于 y 轴对称）。
【锐求值】最后，对所得的锐角求三角函数值。
框图~：
再来看看公式五和六，这两个公式都把一个角的正弦（余弦）值和另一个角的余弦（正弦）值关联起来，所以这两个公式的主要功能就是，实现正弦和余弦之间的转化。
来看个题！（emm 这题压根没有用上公式五和六。。）
【例 3】
是不是会用啦？~
五、特殊角的三角函数值表
（小声：其实有了诱导公式，只用记住 0-π 之间的特殊角的三角函数值就可以啦~~）
以上就是本篇所有讲解的内容啦，下面我们来练习一下吧！
【习题部分】（暂未更新）
一、利用诱导公式求值
1. 给角求值
方法：利用诱导公式将所给角化为锐角（一般是特殊角）。
【练习 1】
2. 给值求值
方法：已知 A 的三角函数值，求 B 的三角函数值，可以尝试将 AB 均转化为与另一角 C 有关的三角函数。当不能转化时，可采用整体法，观察 AB 的和或差是否等于一些特殊角，如果能，可以把 B 的三角函数用 A 的三角函数表示，进而带入求值。
步骤：（1）寻找已知式中的角与所求式中的角的关系（和差倍分）
（2）根据两角之间的关系选择合适的诱导公式（有时候可能需要用两次，但一般不会超过两次）
（3）诱导公式变形求解，得到答案
【练习 2】
3. 给值求角
步骤：（1）用诱导公式或同角三角函数的基本关系化简题目中的条件，求出角的某个三角函数值
（2）结合求助的一个三角函数值逆向求角，式子表示所有符合条件的角
（3）结合题目中所给范围，确定角的值
【练习 3】
二、利用诱导公式化简三角函数式
方法：全部化成锐角（若题目中未给 α 的取值范围，则默认 α 是锐角）。
【练习 4】
三、利用诱导公式证明三角恒等式
方法和上一篇中讲的基本一致~
【练习 5】
【练习 6】
（这个用到了上一篇讲的齐次式化简求值）
【练习 7】
这个题用到了代入消元。
四、利用诱导公式解决三角形中有关问题
方法：利用三角形内角和等于 π。
常用公式：
【练习 8】
五、诱导公式的推广
咱就是说~！真的很香很有用！
放个小彩蛋，这是所有诱导公式的聚合：
怎么说，忽略我那些《十分工整》的批注，其实这图还有点好看哈哈哈哈哈哈~
以上就是本篇的全部内容啦！感谢你看到这里，我们下一篇再见！
By 李天星。
最后更新：2023-07-11，15:46
【为爱发电❤️522181314~】
