【为爱发电】【必修一三角函数】5.3 诱导公式(附例题+常见题型)
【为爱发电】【必修一三角函数】5.3 诱导公式(附例题+常见题型)

【为爱发电】【必修一三角函数】5.3 诱导公式(附例题+常见题型)

“奇变偶不变,符号看象限”

——题记

你好呀,我是李天星,欢迎来到三角函数系列(高一的重头戏呀哦吼吼)~

在上一篇中(https://ltx1102.com/2023/07/02/forlove-hsmath_a_1-5-2/)我们已经初步了解了什么是三角函数和同角三角函数的基本关系式。and,在上一篇中,我讲了一个公式——公式一。

“剧透一下,三角函数有一组公式——诱导公式(是的我也知道这个名字很奇怪啊不是),这是诱导公式的第一个,呃,一共有。。。六个😂”

——摘自上一篇

嘿嘿,你猜对啦!这一篇主要讲的就是诱导公式~我们一起来看看吧!

【目录】

一、讲解部分

  1. 偶不变——公式一至四
    • 例题 1
  2. 奇变——公式五、六
    • 例题 2
  3. 口诀及解读
  4. 诱导公式的使用
    • 例题 3
  5. 特殊角的三角函数值表

二、习题部分

  1. 利用诱导公式求值
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
  2. 利用诱导公式化简三角函数式
    • 练习 4
  3. 利用诱导公式证明三角恒等式
    • 练习 5
    • 练习 6
    • 练习 7
  4. 利用诱导公式解决三角形中有关问题
    • 练习 8
  5. 诱导公式的推广

【讲解部分】

一、偶不变——公式一至四

讲新课(?不是)之前,我们先来复习一下公式一:

上一篇中讲过,公式一是终边相同的角的三角函数之间的关系,可以看作一个角绕顶点旋转 2kπ (k ∈ Z) 后形成的新的角与原先角的三角函数的关系。

聪明如你,肯定想到了更多其它情况——公式一是旋转 2kπ,那我要是旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 呢?关于 x、y 轴做个对称呢?或者……

别着急嘛,这就讲啦~!

首先是绕顶点旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 的情况(也就相当于旋转 π 的情况),把图画出来(一个圆周是 2π,所以 π 就相当于半个圆周~):

图中红色的线画出的角是由绿色的线画出的角绕原点旋转 π 后得到的~(呃呃呃不要鄙视我拙劣的画技emm(

你肯定发现了——啥旋转 (2k+1)π (k ∈ Z) 啊,哪有那么玄乎,不就关于原点做个对称嘛!

的确,就这么简单(无辜摊手)。

所以其实,这种情况下,三角函数值的关系其实就变成了 “关于原点对称的两个点的横纵坐标的关系”,嘿嘿。

很直观,两个点的横纵坐标都相反,所以正弦值和余弦值都相反,正切值相同(因为正切 = 正弦/余弦,正余弦同时取得相反数,对正切不造成影响~)。

公式二就这么简单~!

你可能会问,诶为什么公式一要强调 “2kπ” 而不仅仅是 “2π”,但是公式二就没有强调 (2k+1)π 呢?

其实是因为,在真正计算三角函数值的时候,一般都会先利用公式一将要求的角度转化为 0-2π 之间的角度,再利用其他公式进一步求,所以公式二就不必再写 (2k+1)π 了~

(关于任意角三角函数的具体求解步骤,在六个公式都讲完后会说~)

嗯,上面公式二玩的是关于原点对称,你可能已经猜到接下来要讲什么了——没错,关于 x 轴对称和关于 y 轴对称时的情况~!(公式三和公式四)

先来看关于 x 轴对称的(图中画蓝线的角是由画绿线的角关于 x 轴对称后得到的):

这个时候,从角的角度看,如果之前的角为 α,则对称后所得的 -α(其实就是向相反的方向旋转相同的大小,所以角度值是相反数~)。

众所周知,关于 x 轴对称的点的横坐标不变,纵坐标相反,所以——余弦值相同,正弦值相反,正切呢,因为正弦和余弦只有一个取得了相反数,所以正切的符号也要跟着变,正切值也相反~。

公式三如下:

再来看看关于 y 轴对称的时候的情况~(图中画黄线的角是由画绿线的角关于 x 轴对称后得到的):

well,先来看看关于 y 轴对称以后的角度到底是多少。。

图中画的 β 的大小和 α 相同(这不用解释叭),所以图中画黄线的角的大小就等于 π-β 的,也就是 π-α

关于 y 轴对称的点,横坐标相反,纵坐标不变,so,余弦值相反,正弦值不变,和公式三一样的是正切值都要取反

(是不是感觉有点开窍了哈哈哈哈哈)

公式四如下~:

不知道你现在是什么感觉,反正当时我看完公式四的时候,我开始欢呼……

——诱导公式的本质,就是对称呀!

其实诱导公式并不难,也不用死记硬背,重在理解和学会推导~(本人亲测,做题真的很简单)

做一个题练一下叭~:

【例 1】

是不是很简单呀?

二、奇变——公式五、六

weeeeell,还有两个稍微复杂一点点的公式,接着来看吧~

嗯,我们要相信这些数学家的脑洞(不是),除了那几个比较容易想到的对称,人家还帮咱想了俩。

公式五,关于一三象限的角平分线对称,长这样:

(emmm 忽然发现我颜色好像不够用了)(都怪诱导公式太多了)

紫线的角是绿线的角关于直线 y=x 对称后得到的,我们来算一下它的大小。

紫线的角和图中的 β 一样大,β 又等于 90°-α 也就是 π/2-α,所以紫线的角的大小就是 π/2-α

emmm,所以对称后的点的坐标和之前的那个有啥关系咧。。。?

如果初中讲一次函数的时候提到过的话,你应该会记得,对称后的点的横坐标等于对称前的点的纵坐标,纵坐标等于对称前的点的横坐标,就是把 (x,y) 变成了 (y,x)

可是必修一书上的某一个小框里说:请利用平面几何知识对上述结论进行证明。。。

行,那咱就证明一下吧~

如图,做两个垂线,则易证图中两个阴影三角形全等(AAS),所以 PB=P3C,OB=OC,即 (x,y) 变为 (y,x)。

嗯,话都说到这里了,关系还不是很简单~!对称后的角正弦等于原角的余弦,对称后的角的余弦等于原角的正弦,正切则是取倒数(b/a 是 a/b 的倒数)。

公式五来了~:

嗯!还剩最后一个,公式六~!(胜利在望了吼吼吼)

呃呃呃好好好先不要着急着打我虽然我也知道我这图画的很烂emmm(((

好吧,实际上就是把公式五中的那个对称后的角再关于 y 轴做了一次对称

先来推导角的度数吧,图里的 β 就等于公式五中对称后的角,也就是 π/2-α,所以图中粉线的角就等于 π-(π/2-α) = π/2+α,也就是说,粉线的角是由绿色的角顺时针旋转 π/2 后得到的。

旋转后的两个点的坐标有什么关系?

很直观吧,从 (x,y) 变成了 (-y, x),证明过程和公式五中的差不多,这里不再多说~

那么三角函数关系也就出来啦,旋转后的角的正弦等于原角的余弦,旋转后的角的余弦等于原角的正弦的相反数,正切则等于原角的正切的相反数的倒数(其实不是很复杂啦,a/b 变成了 -b/a,也就是公式五中的正切值取相反数~)。

也就是公式六:

公式六稍微有一点点复杂,可以多看两遍~

嗯!至此,我们学完诱导公式啦~!【击掌相庆】

趁热打铁,做点题练习一下吧~

【例 2】

其实也不难呢!

(and,这个题中的两个公式是诱导公式的拓展公式,也很有用,做题时常常遇到,可以也记一下~

三、口诀及解读

讲完了这六个公式,我们回到题记(口诀)——奇变偶不变,符号看象限

这句话到底什么意思?

我们先来看看公式一至六能不能找到一个 “通式”,也就是说,公式一至六是否遵循着同一种形式

weeeell,首先这些式子里都有个 ±α,并且都有 k 个 π/2(公式一中 k=4 或 4 的倍数,公式二、四中 k=2,公式三中 k=0,公式五、六中 k=1),所以可以概括为 k · π/2 ± α (k ∈ Z) 的形式。

口诀中的 “奇” “偶” 就是指 k。在公式一至四中,k 都是偶数;在公式五、六中,k 都是奇数。

在公式一至四中,sin(xxx) 变了之后还是 ±sin(yyy) 的形式,也就是说三角函数名不变,sin 变成 sin,cos 变成 cos,tan 变成 tan。

而在公式五、六中,sin(xxx) 变成了 ±cos(yyy) 的形式,三角函数名变了(你可能会问,诶那 tan 不还是 tan 嘛,也没变呀?其实 tan 变成的 1/tan 有个专门的名字,叫 cot 余切,不过高中不讲,但是它其实也变了的~)。

所以 “变” “不变” 其实指的是三角函数名要不要变。

所以 “奇变偶不变” 的意思就是:若公式 k · π/2 ± α (k ∈ Z) 中的 k 为奇,则正弦变余弦,正切变余切(1/tan);若公式中的 k 为偶,则三角函数名不变。

至于符号看象限呢,“符号” 指的是诱导公式中新三角函数值的符号(±),“看象限” 是指:如果把原角 α 看作锐角,进行公式中的变换后,新角的终边所在的象限的三角函数的符号就是这个公式的 sin、cos、tan 的符号。

emmm 好吧光说的话说的不太清楚,我们来举个例子,就公式二吧~

(又是这个图嘿嘿嘿)

这个图中,将 α 看成锐角(也就是终边在第一象限),则公式二中的 π+α 是第三象限角。正弦函数的函数值在第三象限是负数,余弦也是负数,正切是正数,由此可以得到诱导公式二。

这个口诀很实用的~!

四、诱导公式的使用

嘿嘿,猜你肯定很好奇,这六个公式到底干嘛用的呀?又该按照什么顺序用呢?

且听我慢慢道来~~

首先是公式一至四,这四个公式的主要作用是把【任意角】的三角函数转化为【锐角】的三角函数,再进行计算。

转化的步骤是什么?

【负化正】首先,如果所给角度是负数,要把负数变成正数,此时多用公式一和公式三(关于 x 轴对称)。

【大化小】第二,将步骤一所得的正角转化为 0-2π 之间的角,此时用公式一。

【小化锐】第三。将大于 π/2(也就是 90°)的角转化为锐角,此时多用公式二(关于原点对称)和公式四(关于 y 轴对称)。

【锐求值】最后,对所得的锐角求三角函数值。

框图~:

再来看看公式五和六,这两个公式都把一个角的正弦(余弦)值和另一个角的余弦(正弦)值关联起来,所以这两个公式的主要功能就是,实现正弦和余弦之间的转化

来看个题!(emm 这题压根没有用上公式五和六。。)

【例 3】

是不是会用啦?~

五、特殊角的三角函数值表

(小声:其实有了诱导公式,只用记住 0-π 之间的特殊角的三角函数值就可以啦~~)

以上就是本篇所有讲解的内容啦,下面我们来练习一下吧!

【习题部分】(暂未更新)

一、利用诱导公式求值

1. 给角求值

方法:利用诱导公式将所给角化为锐角(一般是特殊角)。

【练习 1】

2. 给值求值

方法:已知 A 的三角函数值,求 B 的三角函数值,可以尝试将 AB 均转化为与另一角 C 有关的三角函数。当不能转化时,可采用整体法,观察 AB 的和或差是否等于一些特殊角,如果能,可以把 B 的三角函数用 A 的三角函数表示,进而带入求值。

步骤:(1)寻找已知式中的角与所求式中的角的关系(和差倍分)

(2)根据两角之间的关系选择合适的诱导公式(有时候可能需要用两次,但一般不会超过两次)

(3)诱导公式变形求解,得到答案

【练习 2】

3. 给值求角

步骤:(1)用诱导公式或同角三角函数的基本关系化简题目中的条件,求出角的某个三角函数值

(2)结合求助的一个三角函数值逆向求角,式子表示所有符合条件的角

(3)结合题目中所给范围,确定角的值

【练习 3】

二、利用诱导公式化简三角函数式

方法:全部化成锐角(若题目中未给 α 的取值范围,则默认 α 是锐角)。

【练习 4】

三、利用诱导公式证明三角恒等式

方法和上一篇中讲的基本一致~

【练习 5】

【练习 6】

(这个用到了上一篇讲的齐次式化简求值)

【练习 7】

这个题用到了代入消元。

四、利用诱导公式解决三角形中有关问题

方法:利用三角形内角和等于 π。

常用公式:

【练习 8】

五、诱导公式的推广

咱就是说~!真的很香很有用!


放个小彩蛋,这是所有诱导公式的聚合:

怎么说,忽略我那些《十分工整》的批注,其实这图还有点好看哈哈哈哈哈哈~

以上就是本篇的全部内容啦!感谢你看到这里,我们下一篇再见!

By 李天星

最后更新:2023-07-11,15:46

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