【为爱发电】【必修一三角函数】5.2 三角函数的概念(附例题+常见题型)
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【为爱发电】【必修一三角函数】5.2 三角函数的概念(附例题+常见题型)

你好呀,我是李天星,欢迎来到三角函数系列(高一的重头戏呀哦吼吼)~

在上一篇中(呃其实上一篇还没写emmm((),我们已经初步了解了弧度制和单位圆,把角的范围扩展到了全体实数。“连续” 是一个很好的性质,为三角函数的具体探究打下了基础。

那么,就让我们走进三角函数的世界吧~

【目录】

一、讲解部分

  1. 三角函数的概念
    • 例题 1
    • 例题 2
  2. 三角函数的性质(部分)
    • 例题 3
    • 例题 4
  3. 同角三角函数的基本关系
    • 例题 5
    • 例题 6

二、习题部分

  1. 三角函数概念的应用
    • 练习 1
    • 练习 2
    • 练习 3
    • 练习 4
  2. 利用同角三角函数的基本关系式求值
    • 练习 5
    • 练习 6
    • 练习 7
  3. 利用同角三角函数的基本关系式化简
    • 练习 8
    • 练习 9
  4. 利用同角三角函数的基本关系式证明
    • 练习 10
    • 练习 11
  5. 同角三角函数基本关系式的变形(总结部分,无习题)
  6. 同角三角函数基本关系式与一元二次方程的综合
    • 练习 12

【讲解部分】

一、三角函数的概念

函数一般都是在坐标系中定义的,三角函数也一样。上一篇中,我们在定义 “1 弧度的角” 的时候用到了单位圆,接下来的具体探究也会用到它~

首先在坐标系中做出一个单位圆,再做出一个任意角 α (α ∈ R),这个角的终边与 OP 与单位圆相交于点 P(x,y),如下图所示。

我们不妨试一试,改变角的大小(α),让点 P 在圆周上运动。可以发现,当角 α 唯一确定的时候,它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标也是唯一确定的。——两个“唯一确定”,你想到了什么?

没错,函数呀!点 P 的横坐标 x,纵坐标 y,都是角 α 的函数。

“函数” 先放在这里,我们再来看看 “三角”。

呃,这个图的环境可不太好,我们得搞一个三角形出来,放在一个熟悉的图形环境中……

过点 P,作 PA ⊥x轴,交 x 轴于点 A。

初中的时候是学过直角三角形中的三角比的,角 α 的正弦(sine)等于它的对边比斜边,在上图中即:PA/OP。

嘿嘿,我觉得你可以已经猜到为什么要用单位圆了……OP 是 1 呀,那么角 α 的正弦不就是 PA 嘛,也就是 P 的纵坐标 y 咯(注意,点 P 的正弦是它的纵坐标,而不是线段 PA 的长度,因为正弦可能出现负数,但长度不会)~

余弦(cosine)是同理的,角 α 的余弦等于它的邻边比斜边,即:OA/OP = OA。也就是点 P 的横坐标 x(注意,点 P 的余弦是它的横坐标,而不是线段 OA 的长度,理由同上)。

正切(tangent)也是一样,角 α 的正切等于它的对边比邻边,即:PA/OA,或者说 y/x

emmm,不过在正切这里,情况稍微有一点特殊——正弦和余弦都等于某条边比 OP,反正 OP 不是 0,所以 “某条边” 长多少都无所谓,但是在 tan 这里。。。万一分母(OA)是 0 怎么办?就像下图这样:

分母都是 0 了,还怎么玩啊……

好吧,那干脆就不玩了,把这种情况排除掉!

呃但是我们需要分析一下这种情况什么时候会出现。

图中,角 α = π/2,而只要 α 每增加 π,这种情况就会再次出现(其实就是 OP 和 y 轴重合了嘛),所以 α ≠ π/2+kπ (k ∈ Z)。

综上,借助坐标系、单位圆和弧度制,三角函数的定义已经出来了:

(对不起但是我必须要用 latex!!! 我实在受不了 wordpress 的原生样式了呃啊啊啊)

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,记为:

(我说我靠 latex 活着你信吗((((真的好看!)

现在,我们就已经完成了锐角三角函数的推广啦!现在是任意角的三角函数了哦!(〃 ̄︶ ̄)人( ̄︶ ̄〃)

来做个题练练手?

【例 1】

嘿嘿,你肯定答对啦!

诶,wait,你从三角函数的定义过程有没有想到什么…?

——我要是不知道角的终边和单位圆交点的坐标,但是知道终边上一个点的坐标,能不能求三角函数值呀?

嗯,我都这么问了,那当然是可以的啦!

我们先在终边上随便找一个点 B (x,y) (xy ≠ 0),假设这个点的坐标已知。

仿照定义过程来嘛,过点 B 作一个垂线,与 x 轴交于点 C。

正弦最开始是怎么算的?——对边比斜边。

对边已知,就是 B 的纵坐标 y,所以只要求出斜边就好啦。

斜边的话也很简单,勾股定理,设斜边长为 r,则有 r = 根号下 x^2+y^2。

嗯,那么正弦不就 y/r 嘛,同理,余弦和正切也是一样的~我们有:

这样就把求三角函数的条件放宽了一些啦~

再练一下吧,基础可不能出错哦~

【例 2】

是不是很简单!

学完了三角函数的定义,接着来看看它的性质吧!

二、三角函数的性质(部分)

首先放一个表格啦~是三角函数的定义域和值域,定义域上面已经讲完了,值域还没讲,但是都先放在这里啦~

通过上表的内容,可以求一些和三角函数相关的复合函数的定义域~

【例 3】

我个人觉得,(目前我们所学的)三角函数的一切都源于一条射线和单位圆之间发生的故事。这个射线就那么绕着原点转啊转,和单位圆相交上了,就产生了很多美(恐)妙(怖)的东西。。。。

所以这个交点所在的象限(角的终边所在的象限)很关键啊!交点的象限直接决定了三角函数的正负情况。

先举个例子,射线 OP 和单位圆交于 P (x,y),P 在第一象限,即 x>0, y>0, y/x>0,一下子 sin\cos\tan 的正负就都有了。

由定义可知,正弦函数值的符号取决于 P 纵坐标 y 的符号;余弦函数值的符号取决于 P 横坐标 x 的符号;正切函数值的符号是由 x、y 的符号共同决定的,即 xy 同号时为正,异号时为负。

那就逐一分析吧~

第一象限刚才已经说过了,三个函数的值都是正数。

第二象限,纵坐标大于 0,横坐标小于 0,所以 sin 为正,cos 为负,tan 为负。

第三象限,横纵坐标都小于 0 ,所以 sin 和 cos 都为负,tan 为正。

第四象限,纵坐标小于 0,横坐标大于 0,所以 sin 为负,cos 为正,tan 为负。

总结如下图:

“一全正,二正弦,三正切,四余弦”

由此可以判断一些式子的符号,比如:

【例 4】

嗯~说了这么多,让我们再来看看探究定义的过程……

还是那句话,一切都是由射线 OP(角的终边)产生的。。。

呃,那如果两个角的终边重合了呢?它们的三角函数值会怎么样?

还用想嘛!当然都相等啦!

由此可以得到一组公式,就叫它公式一吧。

剧透一下,三角函数有一组公式——诱导公式(是的我也知道这个名字很奇怪啊不是),这是诱导公式的第一个,呃,一共有。。。六个😂,反正我第一次学的时候被它们折磨的不轻。

这组公式可以概括为下面的形式:

这个公式用处可大了,利用它,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0-2π 角的三角函数值。

(所以,0-2π 中一些特殊角的三角函数值一定要记住哦~)(好吧好吧其实不用,因为通过后面的诱导公式你甚至可以把所有角度都转化成 0-π/4 之间的角度。。)

这个公式是六组诱导公式里最简单的,练习一下吧~

【例 5】

三、同角三角函数的基本关系

其实从三角函数的定义可以搞出很多东西的……比如,最简单的一个,sin α/cos α = tan α,直接通过定义得到的。

那 sin 和 cos 之间又有什么关系呢?还是用之前的图来看看。

这个图里,▲OAP 为直角三角形,OP 是斜边,由勾股定理可得:(OA)^2+(PA)^2 = (OP)^2。

(OA)^2 = (cos α)^2 = cos2α,同理 (PA)^2 = sin2α。

(OP)^2 = 1,所以,sin2α+cos2α = 1

由上两个公式可得,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1商等于角 α 的正切

利用这两个公式可以求出很多式子的值,也可以证明一些式子,练一个题目吧~

【例 6】

嗯……你看到那个“第二象限”了嘛?(((我当时做的时候就没看到emm)

好啦!这就是这一篇所有要讲的内容啦!下面我们来实践一下…..

【习题部分】

注:前 7 个题都比较简单,有基础的可以直接跳过啦~

一、三角函数概念的应用

1. 对三角函数概念的理解

重点:三角函数值是一个实数,这个实数的大小由终边位置决定。

【练习 1】(2018 年北京高考)

2. 已知角的终边经过某一定点,求其三角函数值

提示:当角 α 的终边上的点的坐标以参数形式给出时,要进行分类讨论

【练习 2】

【练习 3】

3. 已知角的终边落在某一直线上,求其三角函数值

提示:角的终边是射线,所以角的终边落在直线上两种情况,要分类讨论

【练习 4】

二、利用同角三角函数的基本关系求值

1. 已知角的一个三角函数值求其余三角函数值

方法:(1)由已知三角函数值的符号,确定角终边所在的象限

(2)根据角的终边所在象限进行分类讨论

(3)利用基本关系式求出其余三角函数值

【练习 5】

2. 由 tan α 的值求 sin α 和 cos α 齐次式的值

方法:这类题目通常先通过题干给的条件求出 tan α 的值,接着对题目的式子进行变形。

(1)若题目的式子是分式,则分子分母同时除以 cos α 或 cos2α,得到 tan α 和常数。

(2)若题目的式子是整式,则可先变形为分式(除以 sin2α + cos2α),得到分式,仿照(2)进行计算。

【练习 6】

3. 由 sin α ± cos α, sin α · cos α 之间的关系求值

方法:由同角三角函数平方关系(下图)

可知,如果已知 (sin α+cos α)2、2sin α cos α、(sin α-cos α)2 中的任何一个,就可以利用同角三角函数的平方关系求出其余两个的值。

【练习 7】

三、利用同角三角函数的基本关系式化简

化简原则:项数尽可能少、次数尽可能低、尽量不含根号、尽量求值。

化简常用方法:(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去掉根号。

(2)化切为弦,减少函数种类。

(3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构造 sin2α+cos2α = 1,以降低次数。

【练习 8】

(这个题有点难度的,我当时也想了一会aww)(大佬请自动忽略这句话)

【练习 9】

四、利用同角三角函数的基本关系式证明

无条件恒等式:

方法:(1)直接从一边向另一边推导,注意看到 tan 可以切化弦,看到 sin2 或 cos2 可以用 “1” 进行换元(经验告诉我,在三角函数恒等式证明中,1 真的很关键)。

(2)变更命题,如证明相等,可以使用交叉相乘、做商、做差等。

【练习 10】

有条件恒等式:

方法:(1)直推法:从条件直接推到结论,注意切化弦还有 1 的转化。

(2)代入法:将条件带入到结论中,转化为三角恒等式的证明(即转化为无条件恒等式

【练习 11】

(这个题很巧,我当时看了半天没看出来任何思路 emm()

五、同角三角函数基本关系式的变形

没有练习题,但有一些很重要的公式~(公式 8 的证明写在旁边啦~)

六、同角三角函数基本关系式与一元二次方程的综合

方法:(1)利用平方关系把已知条件转化为关于三角函数的一元二次方程

(2)利用一元二次方程根与系数的关系寻求等量关系

(3)利用同角三角函数的基本关系进行化简

【练习 12】

以上就是本篇的全部内容啦!感谢你看到这里,我们下一篇再见!


By 李天星

最后更新:2023-07-05,21:00

一条评论

  1. Pingback:【为爱发电】【必修一三角函数】5.3 诱导公式(附例题+常见题型) – 李天星的网站

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