【为爱发电】【必修一三角函数】5.2 三角函数的概念（附例题+常见题型）

你好呀，我是李天星，欢迎来到三角函数系列（高一的重头戏呀哦吼吼）~

在上一篇中（呃其实上一篇还没写emmm（（），我们已经初步了解了弧度制和单位圆，把角的范围扩展到了全体实数。“连续” 是一个很好的性质，为三角函数的具体探究打下了基础。

那么，就让我们走进三角函数的世界吧~

【目录】

一、讲解部分

1. 三角函数的概念
   • 例题 1
   • 例题 2
2. 三角函数的性质（部分）
   • 例题 3
   • 例题 4
3. 同角三角函数的基本关系
   • 例题 5
   • 例题 6

二、习题部分

1. 三角函数概念的应用
   • 练习 1
   • 练习 2
   • 练习 3
   • 练习 4
2. 利用同角三角函数的基本关系式求值
   • 练习 5
   • 练习 6
   • 练习 7
3. 利用同角三角函数的基本关系式化简
   • 练习 8
   • 练习 9
4. 利用同角三角函数的基本关系式证明
   • 练习 10
   • 练习 11
5. 同角三角函数基本关系式的变形（总结部分，无习题）
6. 同角三角函数基本关系式与一元二次方程的综合
   • 练习 12

【讲解部分】

一、三角函数的概念

函数一般都是在坐标系中定义的，三角函数也一样。上一篇中，我们在定义 “1 弧度的角” 的时候用到了单位圆，接下来的具体探究也会用到它~

首先在坐标系中做出一个单位圆，再做出一个任意角 α (α ∈ R)，这个角的终边与 OP 与单位圆相交于点 P(x,y)，如下图所示。

我们不妨试一试，改变角的大小（α），让点 P 在圆周上运动。可以发现，当角 α 唯一确定的时候，它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标也是唯一确定的。——两个“唯一确定”，你想到了什么？

没错，函数呀！点 P 的横坐标 x，纵坐标 y，都是角 α 的函数。

“函数” 先放在这里，我们再来看看 “三角”。

呃，这个图的环境可不太好，我们得搞一个三角形出来，放在一个熟悉的图形环境中……

过点 P，作 PA ⊥x轴，交 x 轴于点 A。

初中的时候是学过直角三角形中的三角比的，角 α 的正弦（sine）等于它的对边比斜边，在上图中即：PA/OP。

嘿嘿，我觉得你可以已经猜到为什么要用单位圆了……OP 是 1 呀，那么角 α 的正弦不就是 PA 嘛，也就是 P 的纵坐标 y 咯（注意，点 P 的正弦是它的纵坐标，而不是线段 PA 的长度，因为正弦可能出现负数，但长度不会）~

余弦（cosine）是同理的，角 α 的余弦等于它的邻边比斜边，即：OA/OP = OA。也就是点 P 的横坐标 x（注意，点 P 的余弦是它的横坐标，而不是线段 OA 的长度，理由同上）。

正切（tangent）也是一样，角 α 的正切等于它的对边比邻边，即：PA/OA，或者说 y/x。

emmm，不过在正切这里，情况稍微有一点特殊——正弦和余弦都等于某条边比 OP，反正 OP 不是 0，所以 “某条边” 长多少都无所谓，但是在 tan 这里。。。万一分母（OA）是 0 怎么办？就像下图这样：

分母都是 0 了，还怎么玩啊……

好吧，那干脆就不玩了，把这种情况排除掉！

呃但是我们需要分析一下这种情况什么时候会出现。

图中，角 α = π/2，而只要 α 每增加 π，这种情况就会再次出现（其实就是 OP 和 y 轴重合了嘛），所以 α ≠ π/2+kπ (k ∈ Z)。

综上，借助坐标系、单位圆和弧度制，三角函数的定义已经出来了：

（对不起但是我必须要用 latex!!! 我实在受不了 wordpress 的原生样式了呃啊啊啊）

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，记为：

(我说我靠 latex 活着你信吗（（（（真的好看！）

现在，我们就已经完成了锐角三角函数的推广啦！现在是任意角的三角函数了哦！(〃￣︶￣)人(￣︶￣〃)

来做个题练练手？

【例 1】

嘿嘿，你肯定答对啦！

诶，wait，你从三角函数的定义过程有没有想到什么…？

——我要是不知道角的终边和单位圆交点的坐标，但是知道终边上一个点的坐标，能不能求三角函数值呀？

嗯，我都这么问了，那当然是可以的啦！

我们先在终边上随便找一个点 B (x,y) (xy ≠ 0)，假设这个点的坐标已知。

仿照定义过程来嘛，过点 B 作一个垂线，与 x 轴交于点 C。

正弦最开始是怎么算的？——对边比斜边。

对边已知，就是 B 的纵坐标 y，所以只要求出斜边就好啦。

斜边的话也很简单，勾股定理，设斜边长为 r，则有 r = 根号下 x^2+y^2。

嗯，那么正弦不就 y/r 嘛，同理，余弦和正切也是一样的~我们有：

这样就把求三角函数的条件放宽了一些啦~

再练一下吧，基础可不能出错哦~

【例 2】

是不是很简单！

学完了三角函数的定义，接着来看看它的性质吧！

二、三角函数的性质（部分）

首先放一个表格啦~是三角函数的定义域和值域，定义域上面已经讲完了，值域还没讲，但是都先放在这里啦~

通过上表的内容，可以求一些和三角函数相关的复合函数的定义域~

【例 3】

我个人觉得，（目前我们所学的）三角函数的一切都源于一条射线和单位圆之间发生的故事。这个射线就那么绕着原点转啊转，和单位圆相交上了，就产生了很多美（恐）妙（怖）的东西。。。。

所以这个交点所在的象限（角的终边所在的象限）很关键啊！交点的象限直接决定了三角函数的正负情况。

先举个例子，射线 OP 和单位圆交于 P (x,y)，P 在第一象限，即 x>0, y>0, y/x>0，一下子 sin\cos\tan 的正负就都有了。

由定义可知，正弦函数值的符号取决于 P 纵坐标 y 的符号；余弦函数值的符号取决于 P 横坐标 x 的符号；正切函数值的符号是由 x、y 的符号共同决定的，即 xy 同号时为正，异号时为负。

那就逐一分析吧~

第一象限刚才已经说过了，三个函数的值都是正数。

第二象限，纵坐标大于 0，横坐标小于 0，所以 sin 为正，cos 为负，tan 为负。

第三象限，横纵坐标都小于 0 ，所以 sin 和 cos 都为负，tan 为正。

第四象限，纵坐标小于 0，横坐标大于 0，所以 sin 为负，cos 为正，tan 为负。

总结如下图：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

由此可以判断一些式子的符号，比如：

【例 4】

嗯~说了这么多，让我们再来看看探究定义的过程……

还是那句话，一切都是由射线 OP（角的终边）产生的。。。

呃，那如果两个角的终边重合了呢？它们的三角函数值会怎么样？

还用想嘛！当然都相等啦！

由此可以得到一组公式，就叫它公式一吧。

剧透一下，三角函数有一组公式——诱导公式（是的我也知道这个名字很奇怪啊不是），这是诱导公式的第一个，呃，一共有。。。六个😂，反正我第一次学的时候被它们折磨的不轻。

这组公式可以概括为下面的形式：

这个公式用处可大了，利用它，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 0-2π 角的三角函数值。

（所以，0-2π 中一些特殊角的三角函数值一定要记住哦~）（好吧好吧其实不用，因为通过后面的诱导公式你甚至可以把所有角度都转化成 0-π/4 之间的角度。。）

这个公式是六组诱导公式里最简单的，练习一下吧~

【例 5】

三、同角三角函数的基本关系

其实从三角函数的定义可以搞出很多东西的……比如，最简单的一个，sin α/cos α = tan α，直接通过定义得到的。

那 sin 和 cos 之间又有什么关系呢？还是用之前的图来看看。

这个图里，▲OAP 为直角三角形，OP 是斜边，由勾股定理可得：(OA)^2+(PA)^2 = (OP)^2。

(OA)^2 = (cos α)^2 = cos²α，同理 (PA)^2 = sin²α。

(OP)^2 = 1，所以，sin²α+cos²α = 1。

由上两个公式可得，同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切。

利用这两个公式可以求出很多式子的值，也可以证明一些式子，练一个题目吧~

【例 6】

嗯……你看到那个“第二象限”了嘛？（（（我当时做的时候就没看到emm）

好啦！这就是这一篇所有要讲的内容啦！下面我们来实践一下…..

【习题部分】

注：前 7 个题都比较简单，有基础的可以直接跳过啦~

一、三角函数概念的应用

1. 对三角函数概念的理解

重点：三角函数值是一个实数，这个实数的大小由终边位置决定。

【练习 1】（2018 年北京高考）

2. 已知角的终边经过某一定点，求其三角函数值

提示：当角 α 的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要进行分类讨论。

【练习 2】

【练习 3】

3. 已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值

提示：角的终边是射线，所以角的终边落在直线上有两种情况，要分类讨论。

【练习 4】

二、利用同角三角函数的基本关系求值

1. 已知角的一个三角函数值求其余三角函数值

方法：（1）由已知三角函数值的符号，确定角终边所在的象限

（2）根据角的终边所在象限进行分类讨论

（3）利用基本关系式求出其余三角函数值

【练习 5】

2. 由 tan α 的值求 sin α 和 cos α 齐次式的值

方法：这类题目通常先通过题干给的条件求出 tan α 的值，接着对题目的式子进行变形。

（1）若题目的式子是分式，则分子分母同时除以 cos α 或 cos²α，得到 tan α 和常数。

（2）若题目的式子是整式，则可先变形为分式（除以 sin²α + cos²α），得到分式，仿照（2）进行计算。

【练习 6】

3. 由 sin α ± cos α, sin α · cos α 之间的关系求值

方法：由同角三角函数平方关系（下图）

可知，如果已知 (sin α+cos α)²、2sin α cos α、(sin α-cos α)² 中的任何一个，就可以利用同角三角函数的平方关系求出其余两个的值。

【练习 7】

三、利用同角三角函数的基本关系式化简

化简原则：项数尽可能少、次数尽可能低、尽量不含根号、尽量求值。

化简常用方法：（1）对于含有根号的，常把被开方数（式）化成完全平方数（式），然后去掉根号。

（2）化切为弦，减少函数种类。

（3）对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造 sin²α+cos²α = 1，以降低次数。

【练习 8】

（这个题有点难度的，我当时也想了一会aww）（大佬请自动忽略这句话）

【练习 9】

四、利用同角三角函数的基本关系式证明

无条件恒等式：

方法：（1）直接从一边向另一边推导，注意看到 tan 可以切化弦，看到 sin² 或 cos² 可以用 “1” 进行换元（经验告诉我，在三角函数恒等式证明中，1 真的很关键）。

（2）变更命题，如证明相等，可以使用交叉相乘、做商、做差等。

【练习 10】

有条件恒等式：

方法：（1）直推法：从条件直接推到结论，注意切化弦还有 1 的转化。

（2）代入法：将条件带入到结论中，转化为三角恒等式的证明（即转化为无条件恒等式）

【练习 11】

（这个题很巧，我当时看了半天没看出来任何思路 emm（）

五、同角三角函数基本关系式的变形

没有练习题，但有一些很重要的公式~（公式 8 的证明写在旁边啦~）

六、同角三角函数基本关系式与一元二次方程的综合

方法：（1）利用平方关系把已知条件转化为关于三角函数的一元二次方程

（2）利用一元二次方程根与系数的关系寻求等量关系

（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简

【练习 12】

以上就是本篇的全部内容啦！感谢你看到这里，我们下一篇再见！

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By 李天星。

最后更新：2023-07-05，21:00

【为爱发电❤️522181314~】