【数理逻辑】肯定前件推理和否定后件推理
【数理逻辑】肯定前件推理和否定后件推理

【数理逻辑】肯定前件推理和否定后件推理

Hi!我来啦!今天来搞搞逻辑方面的!

写这篇文章的灵感……来源于一个经典的逻辑问题

‘’ 假设有人对你说:” 如果一张扑克牌的正面是Q,那么它的背面就是蓝色的。” 也就是说,我们考虑 ” Q —> 蓝 ” 这个假设。你面前有四张牌,第一张正面朝上,是Q;第二张正面朝上,是10;第三张背面朝上,是蓝色的;第四张背面朝上,是红色的。那么,检验之前这个假设都需要翻转哪些牌?‘’

–摘自《贝叶斯的博弈:数学、思维与人工智能》(啊啊啊我觉得我最近是真的迷上这本书了。。。)

在探讨这个问题之前,咱们需要先明确两个术语:

· 肯定前件推理

· 否定后件推理

· 重言式(永真式)

先来看一个包含两个事件的简单例子:下雨和带伞

A:现在正在下雨

B:我带了伞

(注:” A ” 表示现在正在下雨,” B ” 表示我带了伞)

每个事件都可能是真的或假的,它们被称为布尔变量(对没错就是发明了 True 和 False 然后折磨死一堆程序猿 的那个布尔),由此出发就可以构建新的事件,我们把这些新事件叫做逻辑公式。比如说,我们可以构造 ” 非A “、” A或B”、” A且B ” 甚至 ” (非A) 或者B ” 这种更复杂的公式。要想理解这些公式,一种有用的方法就是构造它们的真值表(就是列出命题公式真假值的表),根据布尔变量的真假值列出逻辑公式的真假值,比如:

在表1中,中间一行对应A,即 ” 现在正在下雨 ” 的情况,而中间一列则对应B,即 ” 我带了伞 ” 的情况。所以,正中间的格子代表当A和B同时为真时,” A或B ” 的逻辑真值。这个格子指出,如果A和B都为真的话,那么 ” A或B ” 也为真。而右下角的格子代表当A和B同时为假时,” A或B ” 为假。

嗷,你也可以自己列一列其他逻辑公式的真值表呀,这样可以更好地理解每个逻辑公式的含义。

在实践中,有一个逻辑公式特别重要,那就是 ” (非A) 或B ” ,通常我们把它写成 ” A —> B “。这个公式可以直观地读成 ” A蕴涵B “(注意,是蕴涵,而不是蕴含),或 “ 对于所有A都有B ” ,又或者 ” 如果A那么B “(这个最好理解,嘿嘿)。以下是这个逻辑公式的真值表:

是,不,是,很,吃,鲸??(反正在我推导出它的时候我是大大地吃了一鲸!!)

” A -> B ” 这个关系之所以灰常重要,是因为它处于逻辑演绎的核心。逻辑演绎正是从前提A出发,推导出结论B如果蕴涵关系是正确的,而且前提也正确,那么结论本身也必定正确(敲黑板!!!!)。

用符号表示的话,我们可以写出逻辑公式 ” ((A —> B) 且A) —> B ” (这个公式一定要搞明白!!)!!!!这,就是我们所说的,肯定前件!!!!!

翻译一下这个公式:如果 (( 如果A那么B ) 且A) 那么B(啊啊啊我真的是措辞措了好久!!)

一个重磅炸弹来了!!:

无论A和B的真值是什么,肯定前件推理总是正确的(就是说不管A和B是真是假,肯定前件推理总是真的)。我们说,肯定前件推理是一个重言式,因为对于涉及的布尔变量所有可能的真值,它都是对的(重言式又名永真式,应该很好理解了8?)。

好啦,现在回到开头的那个问题,回忆一下,我们要测试的假设是 ” Q —> 蓝 “( 如果一张扑克牌的正面是Q,那么它的背面就是蓝色的)。 你面前有四张牌,第一张正面朝上,是Q;第二张正面朝上,是10;第三张背面朝上,是蓝色的;第四张背面朝上,是红色的。要测试这个假设,需要将几张牌翻过来?

第一张牌是Q。根据之前说的肯定前件推理,你想到了什么?没错,” ((Q —>蓝) 且Q) —>蓝 ” 是一个重言式!如果要测试假设正确的话,那么,因为第一张牌是Q,所以它的背面就是蓝色的。于是一开始的假设预测了第一张牌的背面是蓝色的。如果牌背面不是蓝色的,那么,这个假设就被否定了所以,为了测试这个假设,需要翻过第一张牌。

第二张牌的情况恰恰相反,我们必须看到:从前提 ” (Q —>蓝) 且 (非Q) ” 无法推出B的真值!!这张牌可能是 ” 非Q非蓝 “,或 ” 蓝但非Q “。故,无需翻过第二张牌!!

第三张牌也是一样,从前提 ” (Q —> 蓝) 且蓝 ” 无法推出Q的真值。不管这张牌是不是Q,要测试的内容都成立;也就是说,这张牌与假设成立与否无关。故,也无需翻过第三张牌!

然而对于最后一张牌,如果这张牌的背面不是蓝色,正面却是一张Q的话,那么我们就得到了一张背面不是蓝色的Q,这与假设矛盾!所以,要对一开始的假设进行测试,就必须将最后这张牌翻过来看看!

(上面四段分析……黄绿相间??嗷,因为真的 Very Important 啊!!如果你不理解,不要着急,可以尝试列出这些公式的真值表,嘿嘿~ 我也是花了好久才搞明白的,然后又花了好久才写出来。。。)

与第一张牌的情况一样,最后一张牌也对应着一个重言式,即 ” ((A —> B) 且非A) —> 非B “,这就是否定后件推理!!!

这个重言式也可以改写成 (A —> B) —> (非A —> 非B) ,翻译一下就是:如果 ( 如果A那么B ),那么 ( 如果非A那么非B )

换言之,蕴涵关系 ” A —> B ” 蕴涵另一个蕴涵关系 ” 非A —> 非B “,我们把它叫做逆否命题。实际上,这两个蕴涵关系甚至是等价的。

蕴涵关系与其逆否命题的等价性是逻辑中反直觉的众多重言式之一,甚至比今天这些还要反直觉。不过,那就是下一个话题啦!

我最近迷上逻辑了,就是贝叶斯的博弈那本书 ” 害 ” 的,这个专栏我会常更的,嘿嘿!(不得不说,逻辑是真的好玩,但也真的烧脑……这篇只有2000字,当时构思的时候觉得挺简单,但一到写的时候……才发现怎么有那么多概念定义都不懂啊啊啊啊,然后开始各种查,从构思到成文大概花了4、5天。。。。)

那,下一篇再见啦~

2021-08-22

By 代码一姐

4条评论

  1. caozhiming

    程序员之妻:今天下班回来,买包子。如果看到卖西瓜的,就买一个。
    程序员:哦。

    回来之后,其妻破口大骂其为何只买了一个包子……

    建议程序员之妻来看看本文,她就不会骂她丈夫了……

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